REVISI KEEMPAT:
NUMBER THEORY
(TEORI BILANGAN)
Mikroriset:
PENGUBAHAN BASIS SELAIN 2 DAN 10 KE BASIS 16 PADA BILANGAN BULAT
(Dosen Ikhsan, M.Pd.)
dan
Artikel;
KEGUNAAN BILANGAN BULAT BASIS 10, BASIS 2, DAN BASIS 16
(Disusun oleh Ikhsan, M.Pd.)
(Editor oleh Ikhsan, M.Pd.)
TEORI BILANGAN
Mata Kuliah Ini WAJIB Untuk Mahasiswa Jurusan Matematika Semester 1, Jurusan Pendidikan Matematika Semester 1, Jurusan Teknik Komputer, dan Jurusan Teknik Informatika.
Ini juga berguna buat teman guru Matematika yang tidak pernah mendapatkan materi ini karena memang pada tahun 1945 sampai tahun 2000 jurusan S1 Pendidikan Matematika di seluruh Indonesia belum ada materi pengubahan basis selain 2, 8, 10, ke basis 16 dan sebaliknya, bahkan jurusan S1 Matematika era sebelum tahun 2000 pun masih belum memasukkan materi ini. Sekarang materi ini sudah including (tercakup masuk) ke kuliah Teori Bilangan jurusan S1 Matematika seluruh dunia.
Uraian Ini hasil saya membaca buku literatur berbahasa inggris (buku kuliah referensi jurusan S1 Matematika, jurusan S1 Teknik Komputer, jurusan S1 Teknik Informatika, jurusan S1 Teknik Elektro, dan buku kuliah jurusan S1 Sejarah Peradaban Dunia), dan tulisan singkat dari Amerika, Inggris, Israel, dan Perancis.
ARTIKEL
KEGUNAAN BILANGAN BULAT BASIS 10, BASIS 2, DAN BASIS 16.
(Artikel ini ditulis oleh Dosen Ikhsan, M.Pd., diambil dari buku kuliah referensi jurusan S1 Matematika, jurusan S1 Teknik Komputer, jurusan S1 Teknik Informatika, jurusan S1 Teknik Elektro, dan buku kuliah jurusan S1 Sejarah Peradaban Dunia).
Kapan basis enam puluh digunakan?
Bangsa Babilon yang diperkirakan hidup pada tahun kurang lebih 2000 sebelum Masehi menghuni wilayah Mesopotamia (Irak Kuno). Mesopotamia (Irak Kuno) berpusat di lembah sungai Efrat (yang kini sisa-sisa reruntuhannya ditemukan di desa Al Hillah, kota Babil, Irak). Wilayah itu sangat subur, sehingga cocok bagi mereka untuk hidup bercocok tanam. Kehidupan mereka bersandar pada kesuburan lembah dan air sungai Efrat. Hasil-hasil panen dikonsumsi sendiri dan diperjualbelikan. Perhitungan laba dari aktivitas jual beli pun mereka lakukan. Berbagai perhitungannya menggunakan bilangan bulat basis 60. Tidak hanya itu, secara menyeluruh kehidupannya menggunakan bilangan bulat basis 60 ke berbagai aktivitas kehidupan.
Kapan basis dua puluh digunakan?
Diperkirakan 2500 sebelum Masehi di daratan Yucatan (Amerika Tengah) bangsa Maya hidup dengan bercocok tanam. Hasil dari bercocok tanam diperjualbelikan. Dalam perdagangan mereka
memakai perhitungan menggunakan bilangan bulat basis 20.
Bangsa Maya menulis untung rugi, menggambar benda-benda, atau mengabadikan kreasinya di bebatuan dengan memakai simbol "glyph". Berbagai perhitungan dalam pengukuran benda-benda ukirannya menggunakan bilangan bulat basis 20.
Kapan basis dua digunakan?
Pada zaman Mesir Kuno yang diperkirakan telah ada 3500 sebelum Masehi yang berpusat di lembah sungai Nil, Pharaoh (Firaun) dengan sistem pemerintahan Monarki Absolut Tuhan mengatur dan memerintah semua orang Mesir Kuno untuk mengembangkan Matematika, Arsitektur, dan Pertanian, serta Kedokteran tradisional. Matematika yang mereka hasilkan berupa Geometri. Dari lembah sungai Nil Geometri lahir. Dengan Geometri orang Mesir Kuno dapat mengukur parit dan saluran irigasi setiap tahun usai banjir besar dari luapan sungai Nil Mesir serta dapat mengukur piramida dan candi. Arsitektur yang mereka hasilkan berupa piramid (bangunan berbentuk limas), candi, dan obelisk, serta kerajinan batu lainnya. Pertanian yang mereka hasilkan berupa gandum, bawang putih, melon, labu, kacang-kacangan, selada, anggur, dan tanaman lainnya, Hasil-hasil pertanian selain untuk konsumsi sendiri juga diperjualbelikan ke beberapa daerah sekitarnya.
Dalam kehidupan sehari-hari pengukuran dalam pembuatan piramida, candi, obelisk, dan perhitungan untung ruginya dalam jual beli yang telah mereka lakukan menggunakan bilangan bulat basis dua, bukan bilangan bulat basis sepuluh. Semua tulisan bangsa Mesir Kuno termasuk bilangan bulat basis dua berbentuk Hieroglyph.
Piramida yang sangat menakjubkan yang sampai sekarang masih berdiri kokoh, kuat, dan megah adalah hasil kalkulasi bilangan bulat basis dua di zaman Pharaoh (Firaun).
Dari mata air gunung Bayan Har yang memiliki koordinat titik (34°29'31"N, 96°20'25"E) di provinsi Qinghai (Cina Barat) air menyembur, hingga mengalir jauh membentuk sungai Hwang Ho (sungai Kuning atau Yellow River) yang membawa lumpur kuning yang kemudian bermuara di laut Bohai yang memiliki koordinat titik (37°45'47"N,119°09'43"E) di kota Dongying, provinsi Shandong, Cina. Di lembah sungai Hwang Ho (sungai Kuning) orang-orang Cina Kuno pernah mendirikan peradaban tertua nan megah di masa Neolitikum dalam kurun waktu kurang lebih 1750-1045 sebelum Masehi. Lembah yang subur dan berpadu air segar yang melimpah ruah menjadikan kerajaan Cina Kuno menggapai kejayaannya. Perdagangan hasil pertanian marak dilakukan. Perhitungan untung ruginya dilakukan dengan menggunakan bilangan bulat basis dua.
Dari dataran tinggi Tibet di kota Tibet Cina mengalirlah air bersih dan jernih hingga membentuk sungai Indus (di India Kuno) yang pada akhirnya bermuara di
Sapta Sindhu (tujuh sungai) pada delta di kota Sindh Pakistan.
Di lembah sungai Indus terdapat penduduk asli bermukim. Mereka adalah bangsa Dravida yang berkulit hitam.
Dari celah-celah pegunungan Hindu Kush sekelompok orang yang berbahasa Indo-Eropa berkulit putih bermigrasi dari Asia Tengah ke India. Sekelompok orang tersebut dinamai bangsa Arya (dalam bahasa Sansekerta kata "Arya" bermakna bangsawan atau mulia). Lalu mereka menetap di Mohenjo Daro dan Harappa (di Barat Laut India Kuno). Di lembah Mohenjo Daro dan Harappa inilah lahir agama Hindu. Kata "Hindu" berasal dari akar kata nama sungai "Sindhu".
Pada perkembangannya bangsa Arya menaklukkan bangsa Dravida, sehingga bangsa Dravida sebagian berpindah ke Selatan India, sebagian membaur dengan bangsa Arya membentuk bangsa Hindu yang selanjutnya kebudayaannya disebut kebudayaan Hindu. Bangsa Arya dan bangsa Dravida dikategorikan orang India Kuno.
Lembah yang subur menjadikan orang-orang India Kuno di Mohenjo Daro dan Harappa hidup bercocok tanam dengan menggunakan air sungai Indus. Diperkirakan sekitar tahun 2500 sampai 1500 sebelum Masehi mereka menggantungkan hidup sepenuhnya pada lembah sungai Indus. Jual beli yang mereka lakukan dan berbagai perhitungan lainnya masih menggunakan bilangan bulat basis dua.
Bilangan bulat basis dua hanya berupa bilangan 0 dan 1.
Sebagai contoh
Penjumlahan:
Ada 101 gandum telah dipanen oleh bangsa Arya. Yang dimaksud 101 gandum di perhitungan mereka bukanlah seratus satu, melainkan 5 gandum. Waktu itu mereka menggunakan bilangan bulat basis dua. Bagaimana caranya?
Perhitungan tersebut berasal dari 1+1+1+1+1=101. Mereka menambahkan satu demi satu biji gandum sebanyak lima perulangan. Rincian langkah-langkah perhitungan tersebut sebagai berikut:
Langkah 1:
1+1=0 disimpan 1; ditulis secara lengkap menjadi 1+1=10.
Langkah 2:
10+1=11;
10
1
---- +
11
di sini penambahan harus dilakukan mulai digit paling kanan yaitu 0+1=1, sehingga simpanan dan hasil ditulis secara lengkap menjadi 10+1=11.
Langkah 3:
11+1=100;
11
1
---- +
100
di sini penambahan harus dilakukan mulai digit paling kanan yaitu 1+1= ditulis 0 dan disimpan 1, kemudian simpanan 1 ditambah 1 = ditulis 0 dan disimpan 1, sehingga simpanan dan hasil ditulis secara lengkap menjadi 11+1=100
Langkah 4:
100+1=101;
100
1
---- +
101
di sini penambahan harus dilakukan mulai digit paling kanan yaitu 0+1= ditulis 1 dan tidak ada simpanan, sehingga hasil ditulis secara lengkap menjadi 100+1=101.
Pengurangan:
Di saat musim paceklik daerah lain yang berjauhan dari bangsa arya tidak ada persediaan makanan. Untuk mengatasi ketiadaan bahan pangan, daerah tersebut berhutang sekeranjang gandum ke bangsa Arya. Berikutnya lagi berhutang sekeranjang gandum ke bangsa Arya. Esoknya lagi berhutang sekeranjang gandum ke bangsa Arya. Belum reda pacekliknya mereka berhutang lagi sekeranjang gandum ke bangsa Arya. Berapa hutang mereka sekarang?
Jawabannya berikut:
0-1-1-1-1=?
0 sebagai kode ketiadaan bahan pangan.
1 sebagai kode kepunyaan (tidak hutang) sekeranjang gandum.
-1 sebagai kode hutang sekeranjang gandum.
Langkah 1:
0-1=-1. Di sini orang di daerah tersebut berada dalam keadaan keadaan bahan pangan (dintatakan kode 0), lalu berhutang satu keranjang gandum. Sekarang orang-orang tersebut dalam keadaan hutang satu keranjang.
Langkah 2:
-1-1=hutangnya menjadi (1+1) = hutangnya menjadi (10) = ditulis -10.
Langkah 3:
-10-1=hutangnya menjadi (10+1) = hutangnya menjadi (11) = ditulis -11.
Langkah 4:
-11-1=hutangnya menjadi (11+1) = hutangnya menjadi (100) = ditulis -100.
Jadi, hutang mereka ke bangsa Arya 100 keranjang gandum untuk mengatasi ketiadaan bahan pangan selama musim paceklik.
Tidak hanya bangsa Mesir Kuno, India Kuno, dan Cina Kuno, tetapi juga bangsa-bangsa di seluruh dunia yang hidup pada zaman Milenial (abad 21) memakai bilangan bulat basis dua untuk berbagai peralatan elektronik dan komputer. Di era milenial basis 2 dikenal dengan binary system (sistem bilangan berbasis dua) dalam dunia komputer ia disebut BITS. Kepanjangan dari BITS adalah BInary digITS (binary digits artinya digit berbasis dua). Istilah BITS sering dikenal BIT. Semua proses operasi internal komputer maupun hp (hand phone = telepon genggam) memakai sistem bits.
Tidak hanya itu, sebagai contoh laptop memiliki ukuran 32 bits. Ini berarti segala pemrosesan data di internal laptop termasuk pemrosesan database registry di internal laptop juga menggunakan kode biner yaitu bilangan bulat 0 dan 1 untuk setiap bitsnya. Karena ada 32 bits, maka laptop dapat menampung 64 kode (campuran 0 dan 1). Oleh sebab itu, processor 32 bits mampu mengolah data (datanya berbentuk kode biner 0 dan 1) di laptop dengan kapasitas memori hanya sampai maksimun 4 GB (gigabytes), sehingga kapasitas memori maksimum 4 GB tersebut tidak dapat dipakai untuk mengolah data desain grafis atau game yang berukuran besar. Itulah sebabnya para programmer, desainer untuk grafis, dan desainer untuk game tidak memakai laptop 32 bits, tetapi harus beralih ke laptop 64 bits.
Begitu pula untuk mendeteksi arus listrik off (mati) tidak hanya pada alat meteran listrik, tetapi juga pada laptop menggunakan kode nol (0), lalu untuk menghidupkannya (on) menggunakan kode satu (1),
Kapan basis sepuluh digunakan?
Basis 10 adalah basis konvensional. Basis ini menjadi jembatan pengubahan berbagai basis. Namun bilangan bulat basis 10 tidak dipakai oleh bangsa Babilon, bangsa Maya, bangsa Arya dan Dravida (India Kuno), bangsa Mesir Kuno, serta bangsa Cina Kuno.
Pada abad 21 bilangan bulat basis 10 dipakai dalam perhitungan sehari-hari, dalam pengukuran benda-benda, dan dalam jual beli. Basis 10 disebut decimal, disingkat dec (dalam teknik informatika dan teknik komputer).
Kapan basis enam belas digunakan?
Basis enam belas disebut hexadecimal, disingkat hex (dalam Teknik Informatika).
Basis enam belas dipakai untuk display (tampilan keluar pada layar monitor) suatu hp, laptop, atau komputer.
Display pada website, display pada Blogger, display background status Facebook, dan display background status Whatsapp yang semuanya beragam warna, diantaranya hitam, putih, hijau, merah, biru, kuning, oranye, abu-abu, dan lain-lain, semuanya menggunakan bilangan bulat basis 16. Di teknik informatika rangkaian bilangan bulat basis 16 bersama kode alfabet lainnya disebut coding (pengkodean) atau script.
Ketika display (tampilan keluar pada layar monitor) suatu website, Blogger, background status Facebook, dan background status Whatsapp berupa warna hitam, maka bilangan (dibaca "kode" dalam teknik informatika) yang digunakan adalah bilangan bulat FFFFFF basis 16. Warna putih adalah tugasnya bilangan bulat 000000 basis 16, warna hitam adalah tugasnya bilangan bulat FFFFFF basis 16, warna hijau menggunakan bilangan bulat 008000 basis 16, warna merah menggunakan bilangan bulat FF0000 basis 16, dan lain-lain.
Pada perkembangan selanjutnya, kode biner dan kode heksadesimal dikembangkan mengikuti standar ASCII (American Standard Code for Information Interchange) untuk penggunaan yang lebih kompleks atau rumit di komputer atau di online internet.
Bagaimana transmisi data online internet?
Ketika database di laptop terhubung dengan online internet, maka transmisi data dapat dilakukan menggunakan sistem radar yang dikendalikan oleh satelit angkasa luar. Sistem radar dalam transmisi informasi data dapat dijelaskan menggunakan FUNGSI POLINOM BERDERAJAT TINGGI (hal ini diuraikan secara rinci pada buku kuliah Struktur Aljabar Terapan). Semula transmisi database oleh radar juga memakai kode 0 dan 1. Agar database yang berupa suara dan gambar bisa di transmisi ke receiver tidak mengalami noise (kegaduhan) oleh partikel angkasa luar yang bergerak atau berbenturan, maka transformasi energi pada gelombang elektromagnetik (dimana medan listrik yang selalu bergerak tegak lurus dengan medan magnet) dapat dilakukan dengan pengubahan Derajat Tertinggi pada Fungsi Polinom. Tentu saja jarak target (obyek) ke receiver dan waktu menjadi hal penting. Semakin jauh jaraknya, semakin banyak waktu yang dibutuhkan agar data cepat sampai di receiver.
Proses pengubahan berbagai basis dapat dibaca pada buku kuliah jurusan Matematika bidang Teori Bilangan Modern dan bidang Struktur Aljabar Terapan Kontemporer.
Proses pengubahan basis 16 dan 2 secara detail dapat dibaca pada buku kuliah jurusan Teknik Informatika.
Proses BITS dan heksadesimal secara detail dapat dibaca pada buku kuliah jurusan Teknik Komputer.
Proses transmisi energi di gelombang elektromagnetik secara detail dapat dibaca pada buku kuliah jurusan Teknik Elektro.
Mikroriset:
PENGUBAHAN BASIS SELAIN 2 DAN 10 KE BASIS 16 DALAM BILANGAN BULAT
Sebagai observasi studi kasus, saya mengungkapkan bahwa pada tahun yang lalu ada mahasiswaku yang ikut ujian ulang tentang Basis Bilangan Bulat. Sampel yang digunakan hanya 4 mahasiswa. Data yang digunakan berupa ujian tulis.
Silahkan ikuti uraiannya berikut.
CPK (Capaian Pembelajaran Khusus):
"Mahasiswa dapat menentukan representasi bilangan bulat dan basis bilangan bulat".
Soal:
"Ubahlah bilangan 45 dari basis 6 ke basis 16!
Representasikan basis 16 tersebut!"
Jawaban mahasiswa:
Mahasiswa hanya mengubah bilangan bulat selain basis 2 dan basis 10 langsung ke basis 16.
Proses pengubahannya hanya mengandalkan hafalan kode 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E sampai F.
Proses pengubahan tidak melalui jembatannya yaitu basis 10 dan basis 2.
Analisis dari Dosen:
Mahasiswa masih memiliki memori yang kuat tentang pengubahan basis 2 ke basis 10 dan sebaliknya.
Mahasiswa masih memiliki memori yang kuat tentang pengubahan basis 8 ke basis 10 dan sebaliknya.
Mahasiswa masih memiliki memori yang kuat tentang pengubahan basis selain 2 dan 8 ke basis 10 dan sebaliknya.
Begitu menginjak pengubahan basis selain 2 ke basis 16 mahasiswa masih mengikuti aturan pengubahan basis 2 ke basis 10 dengan mengandalkan hafalan.
Proses pengubahannya hanya mengandalkan hafalan kode 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E sampai F.
Proses pengubahan tidak melalui jembatannya yaitu basis 10 dan basis 2, padahal dua jembatan basis tersebut menjadi jembatan utama untuk menghubungkan basis selain 10 dan selain 2.
Representasi masih belum dikuasai oleh mahasiswa secara mendalam. Mahasiswa masih terjebak dengan pemaknaan istilah representasi seperti presentasi materi di perkuliahan.
Manfaat mikroriset:
Bagi dosen:
Untuk mengembangkan pengajaran pengubahan basis 16 dan menghindari celah kekhilafan mahasiswa serta peningkatan kualitas pengajaran mendatang..
Bagi mahasiswa:
Berhati-hati dalam melewati jembatan penghubung basis 16.
Antisipasi kekhilafan dalam penggunaan kode A,B,C,D,E sampai F karena kode tersebut bukan hafalan.
Membedakan istilah presentasi dan representasi.
Bagi Pembaca Artikel:
Memberikan informasi tentang keberadaan basis 16 dalam bilangan bulat dan pengubahannya ke basis lain.
Memberikan informasi tentang keberadaan pentingnya basis 16 di abad 21 yang sudah marak teknologi informatika dalam selubung online internet.
Menghindari keterjebakan kosa kata yang hampir mirip.
Tujuan:
Menunjukkan mahasiswa dan para pembaca mikroriset ini bahwa basis 16 sangat berguna sekali dan memiliki peranan penting di era teknologi informatika yang semuanya serba online internet.
Jawaban Dosen:
Sebagai feedback yang dilakuksn oleh dosen, saya menyajikan solusi atas soal.
Ikuti langkah-langkah berikut;
Mengubah bilangan 45 dari basis 6 ke basis 10:
(45)6 = 4(6)1 + 5(6)0 = 4(6) + 5(1) = 24 + 5 = (29)10.
Mengubah bilangan 29:(yang baru saja diperoleh) dari basis 10 ke basis 2:
(45)6 = (29)10 = (...)2
Lakukan pembagian oleh dua sampai hasil bagi = 0, seperti berikut:
29 dibagi 2 = 14 sisa 1.
14 dibagi 2 = 7 sisa 0.
7 dibagi 2 = 3 sisa 1.
3 dibagi 2 = 1 sisa 1.
1 dibagi 2 = 0 sisa 1.
Karena hasil pembagian oleh 2 sudah = 0, maka proses pembagian harus berhenti.
Hasil pengubahan ke basis 2 adalah 11101 (hasilnya berupa sisa yang ditulis dari bawah ke atas).
Jadi, (45)6 = (29)10 = (11101)2
Mengubah 11101 (yang baru saja diperoleh) dari basis 2 ke basis 16:
(45)6 = (29)10 = (11101)2 = (...)16
Gunakan cara pengelompokan empat-empat pada bilangan 11101 mulai dari paling kanan, sehingga bilangan tersebut menjadi 1 1101.
Bubuhkan 0 sebanyak tiga ke kelompok paling kiri pada bilangan 1 1101 agar setiap pengelompokan memenuhi syarat empat-empat, sehingga menjadi 0001 1101.
Konversilah kode 0001 menjadi 1 dan kode 1101 menjadi D, sehingga kode 0001 1101 = 1D berbasis 16 = (1D)16.
Jadi, (45)6 = (29)10 = (0001 1101)2 =(11101)2= (1D)16
Merepresentasi 1D basis 16:
(1D)16 = 1(16)1 + 13(16)0 .
(1D)16 = 1(16) + 13(1)
(1D)16 = 1(16) + 13.
Jadi, representasi 1D basis 16 adalah (1D)16 = 1(16) + 13.
BENTUK SEDERHANA
Untuk bilangan (kode) dari basis 16 ke basis 10:
Bilangan yang sudah berbentuk sederhana, diantaranya:
0 tetap 0
1 tetap 1
2 tetap 2
3 tetap 3
4 tetap 4
5 tetap 5
6 tetap 6
7 tetap 7
8 tetap 8
9 tetap 9
A diubah menjadi 10
B diubah menjadi 11
C diubah menjadi 12
D diubah menjadi 13
E diubah menjadi 14
F diubah menjadi 15
Bilangan AB3 basis 16 yang akan diubah ke basis 10 adalah bentuk tidak sederhana, karena pengubahannya tidak bisa dilakukan dengan mengganti setiap digit.
Maksudnya kita tidak bisa melakukan cara berikut: A diubah menjadi 10,
B diubah menjadi 11, dan 3 tetap 3, sehingga menjadi 10113 ( cara ini salah). Yang benar adalah berikut:
(AB3)16 = 10(A dikonversi menjadi 10) x162 + 11(B dikonversi menjadi 11)x161 + 3x160
= 10x256 + 11x16 + 3x1
= 2560 + 176 + 3
= (2739)10 = 2739 (tulisan 10 tidak perlu dicantumkan pada hasil akhir)
Untuk bilangan (kode) dari basis 16 ke basis 2:
0 diubah menjadi 0000
1 diubah menjadi 0001
2 diubah menjadi 0010
3 diubah menjadi 0011
4 diubah menjadi 0100
5 diubah menjadi 0101
6 diubah menjadi 0110
7 diubah menjadi 0111
8 diubah menjadi 1000
9 diubah menjadi 1001
A diubah menjadi 1010
B diubah menjadi 1011
C diubah menjadi 1100
D diubah menjadi 1101
E diubah menjadi 1110
F diubah menjadi 1111
Kode ini tidak perlu dihafalkan, tetapi yang paling penting adalah mengingat kode permulaan yaitu 0 yang dikonversi menjadi 0000. Kemudian tambahkan satu sehingga menjadi
0+1=0000+1
1= 0001,
sehingga kita mendapatkan kode 1 = kode 0001.
Kemudian tambahkan 1, sehingga menjadi
kode 1+1= kode 0001+1
kode 2 = kode 0010,
Lakukan penambahan 1 secara beruntun sampai diperoleh kode F = kode 1111. Cara ini mudah, bukan?
Untuk melihat pengubahan secara cepat dari heksadesimal (basis 16) ke biner (basis 2) anda bisa menggunakan website beralamat
Di website tersebut silahkan ketik 1D di kolom hex value, lalu tekan convert serta merta kode 0001 1101 muncul di kolom binary value.
Website tersebut sekedar contoh. Masih ada website converter lain yang bisa digunakan. Untuk website converter lainnya dapat dicari sendiri di internet.
Misalnya website berikut
atau yang lainnya.
=====
=====
Artikel ini disusun oleh Ikhsan, M.Pd.
Dipublikasikan pertama kali di Blogger Ikhsan Falihi http://ikhsanfalihi.blogspot.com pada hari Kamis 10 Oktober 2019
=====
=====
.
